Тысячи лет при последовательном проветривании забоев рудных шахт вопрос о распределении воздуха по различным потокам не возникал — практически весь поступающий в рудник воздух омывал все забои.
Внедрение автономного, а значит, параллельного, проветривания, разработанного Дж. Баддлом, потребовало расчета распределения поступающего в рудник воздуха по отдельным рабочим зонам. Эта задача не была тривиальной, хотя в те годы аналогичные задачи уже решались в гидравлических сетях при конструировании инженерных систем водоводов для устройства фонтанов в королевских парках и парках знати.
Одновременно в 1825—1840-х гг. на угольных шахтах начали внедряться механические вентиляторы, осевые и центробежные. Они тоже требовали расчета. Согласно источнику, сначала применение механических вентиляторов произошло в Бельгии, а затем — в Англии. По данным источника, первый вентилятор в Великобритании был установлен в 1827 г. и приводился в действие паровой машиной. Возможно, это были осевые вентиляторы.
Считается, что впервые центробежный механический вентилятор изобрел в 1832 г. генерал-лейтенант горного корпуса А. А. Саблуков. В 1835 г. такой вентилятор начал работать на Алтае.
Если естественная тяга практически не регулировалась — сколько тянет, столько тянет, лишь бы этого было достаточно, — то искусственный вентилятор позволял регулирование, а потому расчет работы вентилятора на вентиляционную сеть стал актуальным. Появилась и новая задача — выбор вентилятора главного проветривания.
В целом необходимость расчета разветвленных потоков воздуха, а главное — выбор параметров работы вентиляторов главного проветривания, стали важной предпосылкой для разработки теоретических основ, связывающих потери давления в вентиляционной сети с расходом воздуха, подаваемого в шахту.
Именно в этот период, в условиях остро возникшей практической потребности, впервые был предложен и внедрен в практику расчета проветривания эмпирический закон, известный сегодня как формула Дарси — Вейсбаха. Этот закон устанавливает квадратичную зависимость потери давления на трение в горной выработке от расхода (или средней скорости) воздуха. Он стал фундаментом для расчета вентиляционных сетей шахт и рудников и остается актуальным до настоящего времени.
Несмотря на наличие множества научных статей об истории данного закона, вопрос о том, кто именно впервые адаптировал и применил данный закон в контексте рудничной вентиляции, остается открытым. В работе указывается, что первым, кто применил закон Дарси — Вейсбаха при расчете шахтной вентиляции, был английский инспектор шахт Джон Аткинсон (John Job Atkinson; 1821−1870). Джон Аткинсон имел хорошую подготовку в области математики и иностранных языков, что позволяет предположить его знакомство с более ранними трудами французских гидравлических инженеров, среди которых уже была известна аналогичная формула. Речь идет об Антуане Шези и Анри Дарси.
Обзор результатов Шези, одного из первых, кто эмпирически вывел выражение, аналогичное формуле (1.1), к расчету открытых каналов, можно найти как в его работе, так и в историческом обзоре нашего времени.
Дарси опубликовал свои труды значительно позднее — в 1856 г.. Тем не менее именно в работе Дарси была более корректно интерпретирована и проанализирована основная причина потерь давления — шероховатость стенок трубопроводов. Впрочем, об истинной физической причине падения давления в трубопроводах ранее упоминал и немецкий математик Юлиус Вейсбах, однако в его труде 1845 г. отсутствовала подтверждающая эту мысль экспериментальная база.
В своем классическом труде по вентиляции шахт «On the Theory of the Ventilation of Mines», объемом около 454 страниц Дж. Аткинсон сформулировал зависимость, связывающую потери давления p на трение движущегося воздуха с поверхностью выработки со средней скоростью воздушного потока u в горной выработке:
pA = kPρu2,(1.1)
где k — коэффициент трения Аткинсона;
P — площадь поверхности выработки;
ρ - плотность воздушного потока;
А — площадь поперечного сечения;
u — средняя скорость воздушного потока.
В других работах Джона Джоба Аткинсона, опубликованных позже, также приведена квадратичная зависимость для перепада давления в форме (1.1).
Тем не менее аналитический аппарат и математические выкладки, предложенные Аткинсоном, оказались избыточно сложными для практикующих инженеров того времени. Его работа была фактически забыта, и лишь спустя более 60 лет после смерти автора она была «переоткрыта» и получила практическое применение.
Примечательно, что в своем фундаментальном труде А. А. Скочинский при выводе своего знаменитого квадратичного закона, связывающего падение давления и среднюю скорость воздушного потока применительно к шахтной вентиляции, ссылается на труды французов д’Обюиссона и Жирара 1825−1826 гг.
Закон падения давления воздушного потока на сопротивлениях трения, представленный А. А. Скочинским, имеет уже современный вид:
h = αPLSV2,(1.2)
где h — перепад давлений в горной выработке;
α - коэффициент сопротивления трения;
S — площадь поперечного сечения;
L — длина выработки;
V — средняя скорость потока в выработке.
В научной среде широко известен принцип Арнольда: «Никакая теорема не носит имя своего первооткрывателя». Однако формула Дарси — Вейсбаха, на наш взгляд, не подтверждает этот принцип. Хотя квадратичная зависимость давления от скорости потока была впервые установлена Шези (для открытых каналов) и Жираром (для трубопроводов), именно Вейсбах дал строгое теоретическое обоснование причин потерь давления, а Дарси подтвердил его выводы экспериментально.
Жирар, по-видимому, был первым, кто применил квадратичную зависимость перепада давления от средней скорости потока к расчету трубопроводов. Результаты его исследований были доложены в Королевской академии наук еще в 1819 г., но опубликованы только в 1826 г. Вместе с этим, если работа Жирара посвящена расчету гидравлических сетей, то труд д’Обюиссона фокусируется на горном деле. Анализируя его работу, можно установить, что квадратичный закон (1.2) использовался им для оценки эффективности вентиляции шахт, а именно — для оптимизации подачи воздуха по металлическим трубопроводам, идущим от вентилятора к подземным участкам.
Таким образом, хотя д’Обюиссон и применил закон (1.2) (формулу Дарси — Вейсбаха) к задачам рудничной вентиляции, но объектом исследования в его работе были не воздушные потоки в горных выработках, а металлические трубопроводы, подающие воздух на подземные участки горных работ.
Впоследствии Джон Аткинсон адаптировал эту формулу к условиям реальных горных выработок, отличающихся выраженной шероховатостью стенок, тем самым заложив основы математического описания закономерностей движения воздуха в шахтах.
В то же время можно предположить, что интуитивное использование квадратичной зависимости между потерями давления и средней скоростью воздушного потока имело место еще раньше — в частности, в работах Баддла. Однако письменных свидетельств, подтверждающих такое использование закона на практике в тот период, нам обнаружить не удалось. Поэтому данный вывод остается гипотезой.
В России формула (1.2) была впервые введена в широкий научный оборот А. А. Скочинским, который опубликовал свою работу после продолжительной командировки по европейским странам в 1900—1904 гг. Формула (1.2) в исходном виде до сих пор используется аэрологами как в России, так и за ру бежом.
Единственным элементом, подвергающимся уточнению, остается коэффициент сопротивления трения α, который корректируется с течением времени с учетом появления новых видов крепей и особенностей сопротивления в условиях увеличивающихся размеров горных выработок.
Если закон (1.2) позволял установить связь между падением давления и средней по сечению выработки скоростью потока в одной выработке, то для выполнения расчетов сети выработок этого не хватало.
Последовательность выработок описывали сложением их сопротивления, приростом давления, необходимого для прокачки одинакового для всех выработок расхода. Для системы параллельных выработок суммировали расход при неизменном давлении на концах всей системы. Думается, что это было известно и французским гидравликам, и английским горным инженерам. Но как рассчитать сложные сети, зачастую закольцованные, что типично для подземных рудников, — это было неясно.
Научно аргументированные правила подхода к сложным сетевым системам для электротехники были разработаны Кирхгоффом еще в 1840-х гг., затем их активно переносили на гидравлические сети, а потом и на системы вентиляции (как промышленной, так и рудничной).
Однако горные инженеры чаще говорили о «законах вентиляционной сети» как о собственных формулировках, хотя математически это были те же самые правила. Первое правило гласит о законе сохранения массы воздуха в узлах сети — сколько приходит, столько уходит. Второе правило говорит о том, что если обойти контур и вернуться в первоначальную точку, то алгебраическая сумма падений давления и напоров вентиляторов будет равна нулю.
В фундаментальном учебнике «Рудничная вентиляция» (А. Скочинский, В. Комаров) 1949 г.
система уравнений стационарного течения воздуха излагается через уравнения расхода и уравнения потерь по контурам, с отсылкой к «закону сопротивления» и балансу воздуха, но без явного упоминания имени Кирхгоффа, последнее пришло в литературу по рудничной вентиляции, видимо, много позднее — во второй половине ХХ в., при начале компьютеризации расчетов на ЭВМ.
Подчеркнем, что правила Кирхгоффа позволяли получить систему линейных алгебраических уравнений для токов и напряжений, что давало возможность решать сколь угодно сложные системы электротехники классическими методами линейной алгебры. Однако уравнения трубопроводных и вентиляционных сетей основаны на квадратичном законе (1.2), что требовало развития новых методов расчета. Аналитические методы расчета вентиляции для простых сетей методами разбиения их на участки последовательного или параллельного соединения были хорошо разработаны уже к концу XIX в. трудами европейских исследователей; речь шла о ручном решении систем уравнений.
Дальнейший прорыв произошел в 1930-е гг. для трубопроводных систем: города быстро разрастались, нужны были инженерные сети подачи воды и удаления жидких отходов (канализация).
Вначале в русскоязычной технической литературе СССР для водопроводных сетей появляются работы инженера М. М. Андрияшева и профессора В. Г. Лобачева (1936) по близким методам поконтурной увязки расходов и напоров сложных сетей.
Пионерской работой в англоязычной литературе стала публикация в 1936 г. Харди Кроссом (Hardy Cross) работы «Analysis of Flow in Networks of Conduits or Conductors «, в которой был предложен инженерно пригодный итерационный метод расчета распределения потоков воды в замкнутых сетях — метод последовательных поправок увязки контурных балансов сопротивления потоку и напора.
Сегодня этот (по сути, единый по методологии) расчетный метод известен аэрологам как метод Андрияшева, метод Кросса, метод Лобачева — Кросса, метод Андрияшева — Кросса.
В целом (несмотря на нюансы) этот единый по идеологии метод был очень прогрессивным, но оставался инструментом ручного расчета, а его широкое практическое распространение началось лишь с появлением ЭВМ с 1960—1970-х гг., когда стало возможным реализовать выполнение многократных итераций и переносить данные алгоритмы расчета на сети произвольной сложности и размерности.